2025/05/14
小学生でもわかる！パーセント計算のやり方とコツ
はじめに
「この500mLの飲み物に果汁10%って書いてあるよ。ということは果汁の量は…」
「水に食塩6gを混ぜたら300gの食塩水ができたよ。食塩水の濃度は何％かな？」
「この服、4500円だけど30%オフになっているよ！いくらになるのかな？」
私たちの生活の中には、パーセント(%)という言葉がたくさん出てきます。
パーセントを理解すると、身の回りのことがよくわかるようになります。
この記事では、小学生のみなさんにもわかりやすいように、パーセントの基本的な考え方、計算方法、ちょっとしたコツなどを紹介します。
パーセントの世界を一緒に探検してみましょう！
パーセントの計算ができる文理のドリルシリーズはこちら！
パーセントとは？
◆パーセントの意味
普段の生活の中でパーセント(%)という記号をよく見かけますよね。
これは、
「全体を100としたときにどのくらいあるか」
を表す記号です。
「％」を使って表す割合を、百分率といいます。
全体を100(百)としているので百分率です。
たとえば、全体で100人いる中で、20人がめがねをかけているとき、めがねをかけている人は「20%」になります。
全体を100として考えることで、全体の数が半端な数であっても、どのくらいあるかわかりやすくなります。
◆割合、歩合、百分率の関係
百分率と合わせて、割合や歩合という言葉も使われます。
これは、全体を何にするかで使い分けます。
・割合 → 全体を1としたときにどのくらいあるか。
単位はつけません。
・歩合 → 全体を10としたときにどのくらいあるか。
単位は割(わり)、分(ぶ)、厘(りん)などを使います。
・百分率 → 全体を100としたときにどのくらいあるか。
単位は％です。
割合を10倍すると歩合、割合を100倍すると百分率になります。
具体例で確認してみましょう。
全体で100人いる中で、20人がめがねをかけているとき、
・割合 → 0.2 (20÷100=0.2)
・歩合 → 2割 (20÷100×10=2)
・百分率 → 20% (20÷100×100=20)
となります。
３つの関係を表にまとめると、関係がわかりやすくなります。
歩合が使われることは減っていますが、野球の打率を表すときに使われます。
例：文理野球部４番バッターの今年の打率は、3割ちょうどでした。
この場合、このバッターは、10打席中３打席ヒットやホームランを打つと考えられます。
パーセント計算の基本ルール
◆「○○の□□％」を計算する方法
ここからは、テストでもよく出る問題の解き方を、パターン別に解説します。
解き方を確認したら、練習問題にもチャレンジしてみましょう！
例題
400円の20％は？
解き方・答え
計算するときは、百分率を割合に直します。
20% → 0.2 (20÷100=0.2)
400×0.2＝80(円)
20のまま計算しないよう注意しましょう。
では、練習問題です！
練習問題
★次の計算をしましょう。
１．800gの20％は？
２．600Lの30％は？
３．700人の15％は？
４．この500mLの飲み物に果汁10%って書いてあるよ。ということは果汁の量は…
↑４は、はじめにで紹介した問題です！
解き方・答え
１．20% → 0.2
800×0.2=160(g)
２．30% → 0.3
600×0.3=180(L)
３．15% → 0.15
700×0.15=105(人)
４．10% → 0.1
500×0.1=50(ｍL)
パーセントを使って計算するときは、百分率を割合に直すことを忘れないようにしましょう。
◆「□□は○○の何％？」を計算する方法
次は、割合を計算してからパーセントを求める問題です。
例題
80円は400円の何％？
解き方・答え
まず、割合を求めます。
80÷400=0.2
何％か求めるので、100をかけて百分率に直しましょう。
0.2×100=20(%)
では、練習してみましょう！
練習問題
★次の計算をしましょう。
１．50gは200gの何％？
２．48Lは80Lの何％？
３．150人は1250人の何％？
４．水に食塩6gを混ぜたら300gの食塩水ができたよ。食塩水の濃度は何％かな？
解き方・答え
１．50÷200=0.25
0.25×100=25(%)
２．48÷80=0.6
0.6×100=60(%)
３．150÷1250=0.12
0.12×100=12(%)
４．6÷300=0.02
0.02×100=2(%)
百分率(パーセント)で答えるので、100をかけて百分率に直すことに注意しましょう。
割引や増加・減少とパーセント計算
◆割引とパーセント
お店で買い物をするときに、「30%オフ！」というPOPを見かけることはありませんか？
これは、元の値段から30%安くなることを表しています。
割引されるときのパーセントの計算を確認しましょう！
例題
5000円の服が40%オフで売られています。支払う金額はいくらですか？
解き方・答え
40%が0.4であることに注意して、まずは安くなる金額を求めます。
5000×0.4=2000(円)
次に、支払う金額を求めます。
5000-2000=3000(円)
では、練習してみましょう。
練習問題
★次の問題に答えましょう。
１．800円のお菓子が15%オフで売られています。支払う金額はいくらですか？
２．2500円の商品が20%オフになっています。支払う金額はいくらですか？
３．定価12000円の自転車が35%オフで売られています。支払う金額はいくらですか？
４．この服、4500円だけど30%オフになっているよ！いくらになるのかな？
解き方・答え
１．800×0.15=120(円)
800-120=680(円)
２．2500×0.2=500(円)
2500-500=2000(円)
３．12000×0.35=4200(円)
12000-4200=7800(円)
４．4500×0.3=1350(円)
4500-1350=3150(円)
◆増える・減るときのパーセント
増えたり減ったりするときにもパーセントは使われます。
例題
タケルさんの今回のテストの点数は、前のテストの点の80点より15%増えました。
今回のテストは何点でしたか？
解き方・答え
まず、増えた点数を求めます。
80×0.15=12(点)
次に、今回の点数を求めます。
80+12=92(点)
では、練習問題です！
練習問題
★次の問題に答えましょう。
１．ユイさんの身長は、１年前に150cmでしたが、この1年で5%伸びました。今の身長は何cmですか？
２．A地域の人口は、昨年10000人でしたが、今年は2%減りました。A地域の今年の人口は何人ですか？
３．お父さんの体重は60kgでしたが、ダイエットをして10%減らしました。ダイエット後の体重は何kgですか？
解き方・答え
１．150×0.05=7.5(cm)
150+7.5=157.5(cm)
２．10000×0.02=200(人)
10000-200=9800(人)
３．60×0.1=6(kg)
60-6=54(kg)
より多くの問題を解きたい方はこちら！
パーセントの計算をもっと楽しくするコツ
◆暗算のちょっとしたテクニック
ここからは、知っていると便利なテクニックを紹介します。
よく出るパーセントの計算方法を覚えておくと、暗算で答えが出せるようになることがあります。
・10% → 元の数を10でわるのと同じ！
例：290円の10%は？
290÷10=29(円)
・50% → 元の数を2でわるのと同じ！ (元の数の半分！)
例：800個の50%は？
800÷2=400(個)
・25% → 元の数を4でわるのと同じ！ (元の数の4分の1！)
例：200ページの25%は？
200÷4=50(ページ)
・20% → 元の数を5でわるのと同じ！
例：500mLの20%は？
500÷5=100(mL)
これらのテクニックを覚えておくと、暗算できることがあります。
◆クイズでパーセントをマスターしよう！
ここまで学習してきたパーセントの計算を使って、クイズに答えてみましょう。
問題
★次の問題に答えましょう。
１．定価1000円のものが60%オフで売られています。
財布に500円しかないとき、この商品を買える？買えない？
２．50点満点のテストの結果が40点でした。90%正解したことになる？
３．果汁20%の飲み物を２本買って混ぜたら、果汁は40%になる？
４．450円の80％と、700円の50％では、どちらが安い？
解き方・答え
１．1000×0.6=600(円)
1000-600=400(円)
500円あるので買えます。
答え 買える。
２．40÷50=0.8
0.8 → 80%
答え 90%正解したことにはならない。
３．果汁20%の飲み物を何本混ぜても、果汁は20%のままです。
答え 果汁40%にはならない。
４．450×0.8=360(円)
700×0.5=350(円)
答え 700円の50％の方が安い。
計算が得意になる！ おすすめ問題集
文理の書籍には、計算練習ができるものがたくさんありますので紹介します。
今回紹介したパーセントの計算以外の計算問題もたくさんあります。
計算力をつけるには問題をたくさん解くことが一番！
力をつけたい方はぜひチャレンジしてみてください。
※パーセントの問題は、小学5年生で詳しく学習します。
パーセントの問題を練習したい方は、小学５年生の書籍をご利用ください。
◆小学教科書ワーク 「算数」
教科書に完全対応しているから、学校の授業に合わせて使いやすい！
計算練習ノート、ポスター、動画、CBTなど付属品も充実！
全教科書に対応した「数と計算」「文章題・図形」シリーズも用意しています。
◆小学教科書ドリル 「算数」
1回10分で終わるドリルだから、習い事など忙しくても続けやすい！
基本・確認の２ステップで、無理なく力がつきます！
計算問題に特化した「計算編」文章題や図形問題に特化した「文章題、数・量・図形」シリーズも用意しています。
◆できる!!ふえる↑ドリル
１枚ずつはがして使えるから、学習しやすい！
「計算」「文章題」「数・量・図形」「時こくと時間」など、分野別のシリーズが充実しています。
◆ハイレベル算数ドリル
3段階構成で取り組みやすい！
詳しい回答解説で、学習をサポート！
まとめ
今回の記事では、パーセントの基本的な意味から、計算の仕方、そしてちょっとしたコツまでを解説してきました。
パーセントは、私たちの身の回りの色々なところで使われています。
色々な問題にチャレンジして、パーセントマスターを目指してくださいね！
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小学生におすすめの「自主学習ネタ」まとめて紹介
「自主学習」は、まさに文字通り、自分が主体的に学習することです。 家庭での学習というと、「宿題をやる」がありますが、これは学校の先生から与えたれたもので、他人からのものです。 宿題は与えられた課題を指示のとおりにこなすことで、自主学習とは違います。 自分で内容や順序などを考え、自分の方法で学習していくことが自主学習といえるでしょう。 ここでは、自分で学ぶことの意義や重要性をわかりやすく解説していければと思います。 もくじ 小学生にとって自主学習が重要な理由 自主学習ネタの選び方 保護者におすすめ！小学生向け科目別の自主学習ネタ 家庭で自主学習を効果的にサポートする方法 親子で一緒に学ぶ楽しさ まとめ＆おすすめ教材 小学生にとって自主学習が重要な理由 自分の経験からしても、宿題はやらないといけない、やらされている感が強く、どうしても後ろ向きなイメージです。楽しくはないものの認識です。 一方、自主学習は、子どもが自分で考えて進めるので、宿題のようにやらされている感じはなく、その点だけでも取り組む姿勢が違ってきます。 取り組む姿勢が違ってくると子どもは学ぶことが楽しいことと思えてきます。 自分で考え、学習することで、意欲を引き出し、前向きに取り組めるようになります。 勉強だけでなく、何事にも前向きに取り組むようになる、そんなきっかけになるかもしれません。 自分で考える力が育つ 自主学習をするようになると、自主的に課題を見つけることもありますし、それを解決することによって、論理的思考が育まれます。順序立てて考える力がつき、将来に起こるかもしれない様々な問題を解決する力もつくでしょう。勉強においては、学習の自主性に間違いなく役に立ちます。 小学生で密につけば、中学、高校の学習スタイルの土台にもなりえるでしょう。 興味を深めることができる どうしても勉強は与えらえてやるものという印象でした。これが、自主学習で自分の好きなことや興味のある分野を深堀りすることで学びの楽しさを体感できます。 そうして、学ぶことは楽しい！となると、さらに学ぼう！と学ぶ意欲が高まっていくのです。 自信がつく 自分で自主的に取り組んだ結果、できた！これもできた！ こっちもできた！と成功体験を得ていくことで自信がつきます。 そうすると、さらに学習意欲が増します。好循環です。 そのような姿を見られるようになり、保護者の方も子どもの成長を感じられるようになるので、このような体験の積み重ねがとても大切です。 自主学習ネタの選び方 それでは自学自習のテーマ（ネタ）はどんなのがあるのでしょう。子どもに合った自学自習のテーマの選び方の例を見ていきたいと思います。 好きな科目や得意なことを軸にする 自学自習するテーマを何がいいか、迷いますよね。 世の中には様々な事象がありますから。 とはいえ、難しく考えることはありません。まずは、子どもの得意な教科をもとにテーマを選ぶのがいいでしょう。社会が得意なお子さんでしたら社会を基にすればいいですし、国語でも、算数、理科でも、それぞれのお子さんに合った教科を基にテーマを選べば、子ども自身が興味を持って取り組みやすくなります。 日常の興味を学びに変える 必ずしも学校の教科から始めないといけないわけではありません。普段の遊びや興味からスタートでもいいのです。 たとえば、虫取りが好きなお子さんがいたら、とんぼの観察から始めて、そこからとんぼの体のつくりを調べたり、とんぼのなかまは何だろうと、興味のあるところから、学びにつなげていければいいのです。 絵を描くことや料理でも構いません。 学校の勉強に沿ったテーマを選ぶ 学校の教科からテーマを選ぶのもいいといいましたが、そこをもう一歩進めて、教科の学習内容に関連するのもいいでしょう。その方が、授業の予習・復習に直結し、直接的に役に立ちますので、学校の勉強がより理解しやすくなります。 参考書を使う 基本的なやり方ですが、お持ちの問題集や参考書を使ってやる方法もあります。 ご自宅にある問題集でもいいですし、お子さんが興味を示した参考書を書店で買って、自主学習をするのもとてもいいです。 問題集や参考書には、それぞれ特徴があり、それらの後押しもあって、自主学習の質が向上する一助となることもあるでしょう。 保護者におすすめ！小学生向け科目別の自主学習ネタ ここでは保護者の方が、お子さんと一緒に取り組めるネタ、そして、子どもが自発的に取り組みやすいネタを科目別に紹介していこうと思います。 国語の自主学習ネタ 低学年 例①かんたんなお話作り ②ひらがなやカタカナの練習 ③お絵かき日記 ④好きな絵本の音読 など 中学年 例①物語作り ②短い日記 ③簡単な読書感想文 ④漢字の書き取りやかるたで遊ぶ ⑤漢字の成り立ち など 高学年 例①長めのお話作り ②詳細な読書感想文 ③新聞記事の要約 ④難しい漢字の使い方や四字熟語の練習 など 算数の自主学習ネタ 低学年 例①お金の計算ごっこ ②数の数え方や足し算・引き算のゲーム ③かんたんな形のパズル など 中学年 例①掛け算九九チャレンジ ②長さや重さの測定 ③三角形や四角形などの図形パズル など 高学年 例①分数や小数の計算練習 ②算数のトリック問題 ③図形の面積や体積を求める問題 ④速さや割合の計算 など 理科の自主学習ネタ 低学年 例①花や木の観察日記 ②身近な生き物や昆虫の観察 ③日光や風の体験実験（水に色をつけて蒸発させるなど） など 中学年 例①植物の成長観察（豆の栽培など） ②簡単な家庭実験（食塩水の結晶づくり） ③天気予報の観察と記録 など 高学年 例①複雑な家庭実験（酸・アルカリの反応など） ②気象観測（気温・湿度の記録） ③地域に生息する生き物の調査 など 社会の自主学習ネタ 低学年 例①地域の名所や神社・公園を訪れて観察 ②家族の職業や役割について話し合う ③おうちの近くの地図作り など 中学年 例①地域の行事や祭りについて調べる ②家族の歴史（祖父母の話を聞くなど） ③簡単な都道府県カードゲームで日本地図を学ぶ など 高学年 例①町や市の歴史調べ ②戦国武将や歴史上の人物について調べる ③47都道府県の特産品や名所を覚えるゲーム など 自由研究の自主学習ネタ 低学年 例①かんたんな工作（折り紙で動物を作るなど） ②好きな動物の絵を描く ③身近な植物や昆虫の観察記録 など 中学年 例①少し複雑な工作（ペットボトルの船など） ②家でできる簡単な実験（重曹とお酢で泡を作るなど） ③動物や魚について詳しく調べる など 高学年 例①科学実験（電池で動く工作など） ②音楽や絵画の鑑賞記録・感想文 ③複雑な動植物の生態や自然環境についての研究 など 家庭で自主学習を効果的にサポートする方法 それでは、保護者が子どもの自主学習をサポートする際の具体的な方法について、紹介していきたいと思います。 1日少しずつ学ぶ習慣をつける 大人でも言えますが、何事も少しずつで、習慣づけることが大切です。 毎日、少しの時間でも続けていき、続けることの大切さを教えていきましょう。 例えば、友達と遊びに行く前にドリルをやる、とか、ゲームをやったら、そのあとは１０分漢字練習をする、とか、どんなことでも短くてもいいので、学ぶ習慣をつけていきましょう。 目標とごほうびを設定する やみくもに「やれ！」ではやりません。 小さなことからコツコツと、で、まず小さな目標を設定し、それを達成していく。達成したらお子さんは喜びます。喜びを積み重ねることが一番の近道です。 そして、達成したらごほうびを、というか、何か報酬的なものあげることもいいです。 ワークを３０分したら、ゲームしていいよ、でもいいですし、しっかりほめてあげることも大切です。 結果よりプロセスをほめる 例えば自学自習でやったテストで100点取った結果をほめるのもいいですが、結果だけでなく、その過程での努力もほめてあげましょう。 まとめのテストでいい点とれたけど、それよりもまして、そこまでの毎日の問題演習を頑張ったね！とか、途中で間違えた問題も戻って解きなおして、できるようになったね！など、 ほめて、子どもの自信を育むことも重要です。 親子で一緒に学ぶ楽しさ 特に低学年のお子さんはそうですが、なかなか毎日机に向かうということも難しいかもしれません。 ただ、保護者の方が一緒に横に座って最初はやってみると、お子さんもやり始めやすいでしょうし、親子の絆も深まります。 お子さんも自主学習をしていて、疑問に思うこともあるでしょう。あれ、どうして？ なぜ？ と質問してきたときに近くにいてあげて、一緒に学ぶと子どもたちは喜んでやってくれるかもしれません。 まとめ＆おすすめ教材 「自主学習」は自分が主体的に学ぶことです。 自主学習をするようになると、考えますので、成長します。 始めるには、まずはスモールステップをクリアし、少しづつ進めていくことです。 それらの家庭での学びを保護者はサポートすることで、子どもの成長をそ促進できることになります。 そのためには・・・と意気込むより、 「まずは一つ、自主学習ネタを子どもと一緒に考えてみましょう！」 自主学習におすすめの教材 ふしぎはっけん！ たんきゅうブック 親子で一緒に身の回りのふしぎを探求し、完成させる体験学習ブック！ 好奇心・探求心をのばすためのファーストブック ♪ ▶シリーズページはこちら ▶ご購入はこちら 【今回の執筆者】 イニシャル：KN 年代：50代 ～今回の一言～ 一歩、また一歩、足音を踏み鳴らそう♪
素数とは？中学数学で押さえておきたいポイント
もくじ 素数って何？基本を知ろう 素数は中学数学でどのように使うの？ 素数を見分ける方法 素数に関するよくある質問 素数の面白い応用例 「わからないをわかるにかえる数学」 「大人の教科書ワーク 数学」 まとめ 素数って何？基本を知ろう 素数の定義をわかりやすく 素数とは、「１とその数自身の積でしか表せない自然数のこと」です。 言い換えると、「１とその数以外に約数ををもたない（約数が２つの）自然数」が素数となります。 ２、３、５、７、・・・ などが素数ですが、例えば７は、１と７でしかわり切れませんから、素数です。 ４や６は、１とその数自身でもわり切れますし、それぞれ２と３でもわり切れますので、素数ではありません。 素数を中学数学で学ぶ理由 素数は、数学の基礎となり、中学数学・高校数学を学ぶうえで必要不可欠な知識となります。 中学では、素数は「素因数分解」や「平方根」で使います。 自然数を素数の積だけで表す素因数分解では、言うまでもなく素数が重要な役割をもっています。 また、小学校５年生で習う「最大公約数・最小公倍数」でも、実は素数が鍵となっています。 数学の基礎となる素数はしっかりと理解を深めておく必要があります。 素数は中学数学でどのように使うの？ 素因数分解で使う例 自然数を素数の積だけで表すことを素因数分解といいます。 素因数分解の基本手順はしたのようになります。 したがって、８４を素因数分解すると、２×２×３×７となります。（実際の問題に答える際には、２²×３×７としましょう。） 最大公約数・最小公倍数の計算での役割 先ほど、最大公約数・最小公倍数で素因数分解が使えると書きましたが、どのように使うのでしょうか。 たとえば、９０と１６２の最大公約数と最小公倍数を考えます。 ９０と１６２をそれぞれ素因数分解すると、こうなります。 これを、下のように縦にそろえて書きます。 ９０と１６２の最大公約数は、したのように考えて、１８だということがわかります。 ９０と１６２の最小公倍数は、したのように考えて、８１０だということがわかります。 このように、最大公約数や最小公倍数を求める際には、素因数分解が役立ちます。 素数を見分ける方法 小さな数でわり算してみる 素数かどうかを見分けるために、小さな数でわり算をしてみるという方法があります。 【手順】 １. まず２でわってみる 偶数はすべて２でわり切れるので、２以外の偶数は素数ではありません。 例：４、６、８…は２でわり切れるので素数ではない。 ２. 次に３でわる ３でわり切れる場合、その数も素数ではありません。 例：９、１２、１５…は３でわり切れるので素数ではない。 ３. ５でわる 最後の数字が０か５で終わる数は、５でわり切れるため、素数ではありません。 例：１０、１５、２０…は５でわり切れるので素数ではない。 ４. ７、１１、１３、１９…と暗記している素数でわる エラトステネスの篩（ふるい）を使う方法 こちらの方法は、中学数学では習わないのですが、 「エラトステネスのふるい」という名の通り、ふるいにかけるように、多くの数のなかから素数を見つけのに便利です。 この方法を使って、1～40までの範囲の素数を見つけてみましょう。 【手順】 １. １を消す ２. 最も小さい素数を残したまま、その素数の倍数をすべて消す。 この場合は、２を残して、２以外の２の倍数をすべてふるい落とします。 ３. 残っている中で最も小さい素数を残したまま、その素数の倍数をすべて消す この場合は、３を残して、３以外の３の倍数をすべてふるい落とします。 ４. 手順３を最後まで繰り返す。 ４はすべてふるい落とされているので、５を残して、５以外の５の倍数をすべてふるい落とします。 最後まで繰り返すと、下図のようになります。 中学のテストでよく出る素数判定問題 中学のテストでは、ある数が素数かどうかを見分ける問いがよく出題されます。 例えば、 問題：101は素数か答えなさい 解答：101の約数は「１」と「１０１」の２つなので、１０１は素数である。 などです。 上記で紹介した方法などを用いて、素数かどうかを見分けます。 中学では覚えておくべき素数 中学の問題では、少なくとも【２,３,５,７,１１,１３,１７,１９】あたりまでの素数を暗記しておくとよいでしょう。 暗記をしておくことで、素数を見分ける問題が楽に解けるようになります。 もちろん、素数はずっと続いていきますので、興味があれば暗記してみても面白いかもしれないですね。 素数に関するよくある質問 ・１は素数じゃないの？ 素数の定義をみてみると、「１とその数以外に約数ををもたない（約数が２つの）自然数」となっています。 たとえば、２の約数は１と２の２つ、７の約数は１と７の２つ。 １は、約数が１自身の１つだけしかないので、素数ではないということになります。 ・なぜ2は素数なのか？ なんとなく、２は偶数だから素数ではない気がしてしまいますが、２は素数です。 ２は、「１」と「２」自身の２つの約数をもつ自然数なので、２は素数となります。 うっかりミスで、２が素数ではないと勘違いしないようにしましょう。 ・素数は無限にあるの？ 素数は無限に存在します。 素数が無数に存在することの証明は、色々な方法でされています。 有名なのは、背理法によるユークリッドの証明です。こちらは紀元前に発見されたものです。 そのほかにも、フェルマー数を用いたゴールドバッハの証明や、2006年に発表されたサイダックの証明などがあります。 ・素数は何年生で学ぶ？ 素数は、中学１年生で学びます。 現行の学習指導要領では、素数を１年において扱うことにより、 素因数分解を自然数、素数、倍数、約数、公倍数、公約数などと関連づけ、 整数の性質を探るひとつの道具として利用することができるとしています。 参考：文部科学省「中学校学習指導要領(平成29年告示)解説」2017年 ▼文部科学省ホームページ 中学校学習指導要領解説：文部科学省 ・100までの素数リストは？ １～１００までに、素数は 「 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97」があり、全部で25個あります。 下図の白い背景のマスが、素数です。 素数の面白い応用例 素数は、とても不思議な数字です。 身近でも、素数の面白い応用例や、素数に絡んだ不思議なことがたくさんあります。 インターネットの暗号に使われる素数 インターネット上の情報を守るのに「暗号化」という技術が使われていますが、この暗号化において素数が重要な役割を担っています。 とある文書があったとき、素数×素数のかけ算で文書に暗号をかけます。 第三者には、かけ算の結果が公開されています。 暗号を元の文書に戻すためには別の鍵が必要です。 この鍵を得るためには、自然数＝素数×素数と、逆の計算をしなければいけません。 地道に計算するので、素数の桁が大きいほど大変です。 簡単な例で考えると、１９×２３のかけ算はひっ算を使えばすぐできるけど、437＝19×23を逆の計算をするのは大変ですよね。 この作業は、コンピューターでも膨大な時間がかかるため、インターネットのセキュリティでは素数が重要な役割を担っているということです。 自然界の不思議：セミと素数の関係 素数ゼミとよばれるセミを聞いたことがあるでしょうか。 素数ゼミとは、生き残り戦略のために、１３年、もしくは１７年の間、地中にいるセミのことです。 それでは、なぜ素数である１３年、もしくは１７年の間、地中にいることが生き残り戦略となるのでしょうか。 その秘密は、最小公倍数にあります。 例えば、１３年ゼミ周期で土の中から出てくる素数ゼミに、３年周期で発生する天敵がいたとします。 天敵が３年周期で発生していても、同じ年に１３年周期ゼミが地上に出るのは、上の表のように３９年経ったときのみです。 ３９は、１３と３の最小公倍数です。１３が素数であるため、３を約数に持たないことから、この最小公倍数が大きくなっています。 仮にセミの地上にいる期間が１年短い１２年だとすると、地上に出れば毎回３年周期で発生している天敵がいるということになってしまいます。 セミの発生周期が素数であることは、その数自身しか約数がない自然数である素数を地上にでる周期にすることで、 天敵とできるだけ出会わないようにする、セミの生き残り戦略と考えることができます。 「わからないをわかるにかえる数学」 ここでPR！ 今回解説した「素数」は中学１年生で学びます。 そんな中学生向けの中学生向けの超基礎シリーズが、こちらの『わからないをわかるにかえる』。 平易な言葉でイラスト豊富に解説し、問題量も多すぎないので学び直しにも活用できます。 ▶シリーズページはこちら ▶ご購入はこちら 「わからないをわかるにかえる高校入試数学」 人気の超基礎シリーズ「わからないをわかるにかえる」の高校入試対策版です。 中学3年間の内容を基礎からおさらいできます。 やさしい言葉遣いやイラストで、とっつきやすいのが特徴で、苦手な分野が多く、易しめから入りたい人はチェックしてみてください。 ▶シリーズページはこちら ▶ご購入はこちら 「大人の教科書ワーク 数学」 日常の悩みや疑問を、小中学校の教科書で解決！ それがこちらの『大人の教科書ワーク』です。 実は、今回の記事のなかで紹介した「インターネットの暗号に使われる素数」や「セミと素数の関係」について、 この『大人の教科書ワーク数学』ではさらに詳しく書かれています！ この本では、このような数学にまつわる面白いトピックをたくさんとりあげています。 「大人の学び直し」がテーマの本ですが、小中学校の教科書で習う算数・数学の内容を用いながら、 日常のあらゆる疑問に答える形式になっているので、いままさに数学を学んでいる中学生が数学を学ぶ楽しさを知るのにもぴったりです！ ▶シリーズページはこちら ▶ご購入はこちら まとめ いかかでしたか。 今回の記事では、素数の定義から中学数学で押さえておきたいポイント、素数を応用した例までご紹介しました。 素数は数学の基礎であると同時に、どこか不思議な数字ですよね。 素数を通じて数学の魅力に触れ、ぜひ今の学びを深めてみてください！
これで完璧！小中学生向け暗記のコツとテクニック
暗記は学習の大切な一部です。覚えた知識が、学力の基礎になるからです。 暗記とは、文字などを見なくても、すらすらと言えるようによく覚えることです。 でも、すらすら出てくるまで覚えるって、なかなか大変ですよね。 暗記には、効果的に覚える方法があります。 この記事では、暗記をもっと楽に、そして効率よくできるコツやテクニックを紹介します。 これを実践すれば、暗記がもっと得意になりますよ！ もくじ 暗記の基本とは 効果的な暗記のコツ 暗記を助ける生活習慣 暗記を楽しくする工夫 おすすめの暗記のツール 記憶の定着に！おすすめの問題集 まとめ 暗記の基本とは 暗記は記憶の仕組みを理解することで、効率よく行えるようになります。 記憶の仕組みを知ろう 私たちの記憶は、「短期記憶」と「長期記憶」に分かれています。 短期記憶は一時的に覚えるもの、長期記憶は時間がたっても覚えているものです。 短期記憶は、短時間で消えてしまうので、その時は覚えていてもすぐに忘れてしまいます。 しかし、繰り返し学習することで、長期記憶になり、忘れなくなります。 エビングハウスの忘却曲線という研究によって、最初は忘れやすいけれど、何度も復習すると長期記憶に残りやすくなるというメカニズムがわかっています。 （エビングハウスの忘却線についてはこちらの記事でも紹介しています。） 暗記と理解の関係 暗記と理解は、実はとても大事な関係にあります。 ただ覚えるだけではなく、意味を理解して覚えることで、覚えやすくなります。 例えば、歴史の出来事をただ覚えるのではなく、その出来事がなぜ起こったのかを考えながら覚えると、記憶が強くなります。 理解しながら暗記するのが、効率的な学習方法です。 効果的な暗記のコツ 次は、実際に試せる暗記法を紹介します。 どれも簡単で、すぐに使えるテクニックばかりです。 自分に合った方法を見つけて、試してみてください！ 声に出して覚える 声に出して覚えることで、記憶が定着しやすくなります。 音読することで、目と耳の両方を使うことができるからです。 例えば、教科書の内容を声に出して読んだり、英単語を繰り返し言ったりすると、記憶に残りやすくなります。 書いて覚える 書くことでも記憶は強化されます。何度も手を動かして書くことで、覚えたことが頭に定着します。 例えば、暗記したい単語を何回も書き写すだけでも、記憶がしっかりと残ります。 書くことで目と手を使うので、記憶に残りやすくなるのです。 リズムや語呂合わせを活用する リズムや語呂合わせを使うと、覚えやすくなります。 例えば、暗記したいことを歌にしたり、語呂合わせをつくったりすると、覚えるのが楽しくなります。 リズムに合わせて英語の単語やセンテンスを繰り返す「チャンツ」という学習方法もあります。 イメージで記憶する 視覚的に覚える方法も効果的です。イメージを使って覚えることで、記憶に残りやすくなります。 例えば、覚えたい言葉や内容を絵に描いてみたり、図や表にまとめたりすると、イメージが記憶の助けになります。 体を動かしながら覚える 歩きながら暗記したり、ストレッチしたりしながら覚える方法もおすすめです。 体を動かすことで脳が活性化し、記憶力がアップします。 例えば、暗記したい単語を歩きながら声に出して言ってみると、より効果的に記憶できます。 暗記を助ける生活習慣 暗記をより効率的にするためには、生活習慣も大切です。 気をつけることで、記憶力がアップします。 睡眠の重要性 記憶を定着させるためには、十分な睡眠が必要です。 また、寝る前に復習すると、覚えたことがしっかりと記憶に残ります。 寝る前に軽く今日の勉強内容を振り返るだけでも、記憶が深くなりますよ。 適度な休憩と運動 長時間勉強し続けるよりも、適度な休憩をとったり、軽く体を動かしたりすることが大切です。 25分間、集中する作業を行い、5分間休憩をとる、「ポモドーロ・テクニック」というものがあります。 集中できる時間には個人差があるので、必ずしも25分である必要はないですが、こうしたメソッドを取り入れて、学習してみてもよいかもしれません。 軽い運動やストレッチも、記憶力を向上させる手助けになります。 暗記を楽しくする工夫 暗記を楽しくする工夫を取り入れることで、モチベーションを保ちやすくなります。 ゲーム感覚で学ぶ 暗記をゲームのように楽しむと、勉強が楽しくなります。 例えば、クイズ形式で出題し合ったり、暗記カードをカルタのように取り合ったり、楽しみながら学ぶ方法です。 ゲーム感覚で勉強すれば、飽きずに続けられます。 友達や家族と一緒に学習 友達や家族と一緒に暗記することで、競争や協力が生まれ、楽しく覚えられます。 家族にクイズを出したり、友達と競争して覚えたりする方法は、暗記をより楽しくしてくれます。 おすすめの暗記ツール 暗記を助けるツールもたくさんあります。これらを活用すれば、暗記がもっと効率的に進みますよ。 単語カードやアプリの活用 単語カードや暗記アプリを使うと、手軽に暗記ができます。 自分で単語カードをつくって繰り返し見ることもできますし、アプリを使えば、移動中でも暗記ができます。 暗記ペン＆チェックシートの使い方 暗記ペンとチェックシートを使うことで、重要な部分を隠して覚えることができます。 赤いペンでマークした部分を、シートで隠して何度も復習する方法が有効です。 記憶の定着に！おすすめの問題集 【小学生向け】小学教科書ワーク 小学生には「小学教科書ワーク」がおすすめです。 「小学教科書ワーク」は教科書の内容に沿った教科書準拠版の問題集で、授業の内容や勉強の仕方がよくわかる問題集です。 いろいろな特典が付属しているのも特長ですが、中でも5教科に付いている「わくわくポスター」や英語の「わくわくカード」、理科・社会の「わくわくカード＆カードアプリ」は暗記に役立ちます。 ▶シリーズページはこちら ▶ご購入はこちら 【中学生向け】中学教科書ワーク 中学生には「中学教科書ワーク」がおすすめです。 「中学教科書ワーク」は教科書の内容に沿った教科書準拠版の問題集で、定期テスト対策にもぴったりな問題集です。 いろいろな特典が付いていますが、中でも赤シートで隠して覚える小冊子「スピードチェック」や学習カードの「ポケットスタディ」は、暗記の強い味方です。 主要5教科に付属する、いつでもどこでも手軽に勉強できるＷＥＢアプリ「Ｎｅｗどこでもワーク」も知識を定着させるのに役立ちます。 ▶シリーズページはこちら ▶ご購入はこちら 教科書準拠の問題集を探すなら まとめ 暗記はただ覚えるだけではなく、工夫をすることでより効率的に覚えることができます。 自分に合った方法を見つけて、いろいろ試してみましょう。 少しずつコツをつかんでいけば、暗記が得意になり、勉強がもっと楽しくなりますよ！
素因数分解とは？ やり方を5ステップで解説！ わかりやすい完全ガイド
もくじ 素因数分解とは？基礎から理解しよう 素因数分解のやり方（5つのステップ） 素因数分解の解き方のコツと時短テクニック 素因数分解の練習問題にチャレンジ！ 素因数分解でつまずいたときのQ&A まとめ：素因数分解をマスターして数学力をアップしよう 素因数分解のマスターにおすすめの文理の教材 素因数分解（そいんすうぶんかい）は、中学数学の最初の単元で登場します。 「なんだか難しそう」と身構えてしまう人もいるかもしれません。 しかし、実は、ルールさえ覚えてしまえば、パズルのように決まった手順で解くことができます。 この記事では、素因数分解のやり方を5つのステップで丁寧に解説します。 素因数分解とは？基礎から理解しよう まずは、 「素因数分解って結局なに？」 という疑問をスッキリ解決しましょう。 素因数分解とは？ 素因数分解とは、一言で言うと 「ある自然数を、素数だけのかけ算の形にすること」 です。 例えば、自然数「6」で考えてみましょう。 6は「2×3」と表せます。 2も3も、これ以上分けられない「素数」ですね。 このように、自然数を素数の積（かけ算）に分解するが素因数分解です。 素因数分解で使う重要な用語 数学が苦手な人は、まずこの4つの言葉をセットで覚えてしまいましょう。 自然数 1, 2, 3…といった、正の整数のこと。 素数 1とその数自身でしかわり切れない、2以上の数（例：2, 3, 5, 7, 11…）のこと。 素数についての詳しい記事はこちら 因数 ある数をかけ算の形にしたときの、それぞれの数のこと。 また、素数である因数を、素因数という。 積 かけ算の答えのこと。 「素数」と「素因数」は混同しやすいですが、「素数である因数」のことを素因数と呼びます。 素因数分解を学ぶメリット 「なぜこのような分解をするのか」と疑問に思う人もいるでしょう。 しかし、素因数分解ができるようになると、次のような場面で非常に役立ちます。 ① 計算ミスが減り、スピードが上がる 分母・分子が大きな数の約分や、最大公約数・最小公倍数を見つけるときに迷いがなくなります。 共通の「素数」を見つけるだけで、複雑な計算もシンプルになります。 ② 中3数学・高校入試の必須スキル 「平方根（ルートの計算）」や「2次方程式」では、素因数分解を使う場面があります。 今のうちにマスターしておくことが、入試対策の第一歩になります。 ③ デジタル社会を支える「暗号」の基礎 スマホでの買い物やSNSのセキュリティ（暗号）には、実は素因数分解の仕組みが使われています。 実社会でも役立つ仕組みなのです。 暗号についてもこちらで紹介しています 素因数分解のやり方（5つのステップ） それでは、実際に手を動かしてやってみましょう。 ここでは「20」を例にして、確実に解ける5ステップの手順を紹介します。 ステップ① 素因数分解する数の左にL字の線をひく まずは、ノートに「20」と書き、その左から下にかけてL字型の線をひきます。 わり算の筆算を上下逆さまにしたような形を書くのが、素因数分解のコツです。 「逆さわり算」ということもあり、素数を整理して書くのにとても便利です。 ステップ② 最も小さい素数でわる 20をわり切ることができる、最も小さい素数を探します。 素数は小さい順（2, 3, 5, 7…）に考えていくのが効率的です。 20は偶数なので、まずは「2」でわってみましょう。 ステップ③ わった素数を左に、答えを下に書く L字の左側にわった素数の「2」を書き、下側にわり算の答え（商）である「10」を書きます。 ノートには次のように書き込んでいきます。 ステップ④ わり切れなくなるまで繰り返す 商が「素数」になるまで、同じ作業を繰り返します。 10はまだ2でわれますね。 さらに下にL字を書きたして、計算を続けます。 商が「5」になりました。 5はこれ以上わり切れない素数ですので、ここで計算終了です。 ステップ⑤ 左に並んだ素数をかけ算で表す 最後に、L字の左側に縦に並んだ数字と、一番下の数字をすべてかけ算の形で書きます。 今回の場合は、次のようになります。 20=2×2×5 同じ数が複数あるときは、指数（累乗）を使ってまとめましょう。 答え 20 = 22×5 ※基礎から学べる文理の中学教材はこちら 中学教科書ワーク 定期テストの攻略本 わからないをわかるにかえる 素因数分解の解き方のコツと時短テクニック 基本のやり方がわかったら、次は「速く、正確に」解くための実践的なテクニックを身につけましょう。 これを知っているだけで、計算スピードが格段に上がります。 わり切れる素数を素早く見つける方法 大きな数字を見たときに、「何でわれば良いのか」と迷う時間を減らすのがコツです。 以下の「倍数判定法」を覚えておきましょう。 【2でわり切れる数】 一の位が偶数（0, 2, 4, 6, 8）であれば、必ず2でわり切れます。 例 196458はとても大きな数ですが、一の位が偶数なので2でわり切れます。 196458÷2=98229 【3でわり切れる数】 「各位の数の和」が3の倍数なら、その数も3でわり切れます。 例 726で考えると、各位の数の和は、 7+2+6=15 です。15は3でわり切れるので、726も3を因数に持つことがすぐにわかります。 726÷3=242 【5でわり切れる数】 一の位が0または5であれば、必ず5でわり切れます。 例 23945÷5=4789 まずはこの3つを確認するだけで、分解のスピードがぐんと上がります。 大きな数の素因数分解のコツ 3桁以上の大きな数の場合は、小さな素数（2や3）から順にコツコツわり続けても答えが出せますが、 「まずは自分が思いついた大きな数で分解してみる」 という方法も有効です。 例えば、「420」の場合、一の位が0なので「42×10」と考えることができます。 42は、 6×7、つまり (2×3)×7 10は、 2×5 これらを合わせると、 420＝2×3×7×2×5 となり、最終的に 420＝22×3×5×7 と導き出せます。 素因数分解に慣れてきたら、頭の中でこの「塊での分解」をイメージできるようになると、計算が非常にラクになります。 よくある間違いと対策 テストでうっかり失点をしないために、次の3つの「よくあるミス」を意識しておきましょう。 「1」を素因数に入れてしまう 素因数分解は「素数」の積で表すものです。 1は素数ではないので、答えに「×1」と書かないように注意しましょう。 指数の書き忘れ、書き間違い 同じ素数が複数あるときは、23 のように累乗の形でまとめます。 テストでの指示にもよりますが、通常は「2×2×2」とそのまま並べて書くと、正解にならない場合が多いので気をつけましょう。 わり算を途中で止めてしまう 逆さわり算の最後（一番下の数）が、まだわり切れる数（合成数）のまま終わってしまうことがあります。 一番下の数が、これ以上わり切れない「素数」になっているか、必ず確認しましょう。 素因数分解の練習問題にチャレンジ！ 理解を深める一番の近道は、実際に手を動かして解いてみることです。 筆記用具を準備して、次の問題に挑戦してみましょう！ 基礎問題 1桁〜2桁の数を分解してみよう まずは基本の数字から。 小さな素数「2」や「3」でわり切れるかを確認しながら進めましょう。 【問題】次の数を素因数分解しなさい。 ① 12 ② 18 ③ 24 【解答と解説】 ① 12 = 22×3 ② 18 = 2×32 ③ 24 = 23×3 標準問題 3桁の数に挑戦 少し数字が大きくなりますが、落ち着いて分解していきましょう。 先ほど紹介した「倍数判定法」を活用するのがポイントです。 【問題】次の数を素因数分解しなさい。 ④ 108 ⑤ 180 【解答と解説】 ④ 108 = 22×33 ⑤ 180 = 22×32×5 【別解】 ⑤ 180=18×10と 考えて、 18=2×32 10=2×5 から、 180 = 22×32×5 とすることもできます。 応用問題 大きな数の素因数分解 最後は、500以上の大きな数に挑戦です。 大きな塊を見つける「時短テクニック」を積極的に使って、効率よく分解しましょう。 【問題】次の数を素因数分解しなさい。 ⑥ 756 ⑦ 1260 【解答と解説】 ⑥ 756 = 22×33×7 ⑦ 1260 = 22×32×5×7 ⑦は、次のように考えることもできます。 ※数学のレベルアップ！ 応用問題もある文理の中学教材はこちら 完全攻略 ハイクラス徹底問題集 素因数分解でつまずいたときのQ&A 最後に、素因数分解を勉強している人がよく抱く疑問をまとめました。 モヤモヤを解消して、素因数分解をマスターしましょう！ 素数を覚えられないときはどうする? 素数は無限に続くため、素数をすべて覚えることはできません。 中学数学の問題でよく使うのは、「2, 3, 5, 7, 11, 13」の6つくらいですので、まずはこれだけ覚えておきましょう。 これだけ知っていれば、多くの問題に対応できます。 もし「この数は素数かな？」と迷ったら、先ほど紹介した「倍数判定法」を使って、2や3でわり切れないかチェックしてみてください。 エラトステネスのふるいによる素数の見つけ方はこちら 1は素因数に含める? 含めない? 結論から言うと、1は素因数に含めません。 そもそも素数の定義が「1とその数自身でしかわり切れない2以上の自然数」だからです。 もし「1」を認めてしまうと、例えば6の素因数分解が 2×3 だけでなく、1×2×3 や 12×2×3 など、無限の書き方ができてしまいます。 「答えを1通りに決めるため」というルールがある、と覚えておきましょう。 同じ素数が何回も出てくるときの書き方は? 同じ素数が複数出てくる場合は、指数（累乗）を使って書きましょう。 例えば、2が4回出てきたときは「2×2×2×2」ではなく「24」と書きます。 これは数学のルール（作法）のようなもので、これによって式の見た目がスッキリし、後の計算（平方根など）がやりやすくなるというメリットがあります。 素因数分解ができないと困ることは? 素因数分解は、中学数学のあらゆる単元の「土台」になります。 これができないと、次のようなところで苦労してしまいます。 ・最大公約数・最小公倍数を求めるのが遅くなる。 ・下のような平方根（ルート）の計算が遅くなる。 ・高校数学の「整数」や「数列」の単元でつまずいてしまう。 逆に言えば、今ここで素因数分解をマスターしてしまえば、これから先の数学がぐんとラクになります。 「今、最強の武器を手に入れるんだ！」 という前向きな気持ちで取り組んでくださいね。 まとめ：素因数分解をマスターして数学力をアップしよう 素因数分解は、一見難しそうですが、次のポイントを押さえれば怖くありません。 ◎ 「素数のかけ算」の形に分解すること ◎ 「逆さわり算」をていねいに書くこと ◎ 倍数判定法（2, 3, 5, 4, 9）を活用すること ◎ 同じ数は指数（累乗）でまとめること 何度も練習問題を解くうちに、数字を見ただけで「これは3でわれそうだな」という感覚が身についてきます。 焦らず、一つひとつの計算を大切に進めていきましょう。 素因数分解が得意になれば、あなたの数学力は間違いなくランクアップしますよ！ 素因数分解のマスターにおすすめの文理の教材 「やり方はわかったけれど、もっとたくさん練習して完璧にしたい！」という皆さんに、文理のおすすめ教材を紹介します。 自分の目標や学習スタイルに合わせて選んでみてくださいね。 ※素因数分解は中学１年の内容になります。 以下で紹介するシリーズの、１年生のもののみ該当しますのでご注意ください。 中学教科書ワーク 学校の成績を確実に上げたいなら、まずはこれ！ 教科書の内容にピッタリ沿っているので、授業の予習・復習に最適です。 素因数分解の基本から、教科書レベルの応用問題までステップを踏んで練習できます。 ▶シリーズページはこちら ▶ご購入はこちら 定期テストの攻略本 「テスト直前に短時間でポイントを確認したい！」という人におすすめ。 テストに出やすい「素因数分解の利用」などの重要ポイントがコンパクトにまとまっています。 赤シートを使って、重要な用語や判定法のコツを効率よく暗記できます。 ▶シリーズページはこちら ▶ご購入はこちら わからないをわかるにかえる 数学が苦手で、素因数分解という言葉を聞くだけで頭が痛くなる…という人でも大丈夫。 カラーの図解が豊富で、まるで先生が隣で教えてくれているような優しい解説が特徴です。 一つひとつのステップをゆっくり確認しながら進められます。 ▶シリーズページはこちら ▶ご購入はこちら 完全攻略 「素因数分解を極めて、入試レベルの問題まで解けるようになりたい！」という意欲的な人に最適。 基礎から発展まで網羅されており、思考力を問われる難しい問題も豊富です。 定期テストで満点を目指すなら、この1冊をやり込みましょう。 ▶シリーズページはこちら ▶ご購入はこちら
三角形の面積の求め方 なぜ「底辺×高さ÷2」なのかを図でわかりやすく解説【小学5年生】
もくじ 【公式】三角形の面積 ＝ 底辺 × 高さ ÷ 2 【直角三角形】長方形の半分で考えよう 【鋭角三角形】2つの直角三角形に分けよう 【鈍角三角形】高さが三角形の外でも大丈夫 【ミスに注意】底辺と高さの見つけ方 【練習問題】公式を使って三角形の面積を求めよう まとめ 「三角形の面積ってどうやって求めるの？」 「公式は知っているけれど、なんで2でわるの？」 と疑問に思っていませんか？ この記事では、公式をただ暗記するのではなく、なぜこの公式になるのかをステップごとに図解でわかりやすく説明します。 直角三角形からはじまり、鋭角三角形・鈍角三角形まで順番に解説するので、どんな三角形でも面積を求められるようになります。 小学5年生の算数の学習にぴったりな内容です。 【公式】三角形の面積 ＝ 底辺 × 高さ ÷ 2 まず、三角形の面積を改めて確認しましょう。 三角形の面積は、底辺 × 高さ ÷ 2 という式で求められます。 この公式を使えば、どんな三角形でも面積を求めることができます。 でも、 「なんでこの式で求められるの？」 「なぜ÷2するの？」 という疑問をそのままにしてはいけません。 理由を理解することで、公式を忘れにくくなり、応用問題にも対応できるようになります。 次から、3つのパターン（直角三角形・鋭角三角形・鈍角三角形）に分けて、順番に説明していきます。 【直角三角形】長方形の半分で考えよう 三角形の面積の考え方は、まず「直角三角形」から始めるとわかりやすいです。 直角三角形の面積 たとえば、たて4cm・よこ5cmの長方形を対角線で切ると、ぴったり同じ大きさの直角三角形が2つできます。 つまり、直角三角形は、長方形を対角線で半分にした図形と考えることができます。 長方形の面積 ＝ たて × よこ で求められますので、たて4cm・よこ5cmの長方形の面積は、 4 × 5 ＝ 20（cm²） 直角三角形の面積はその半分なので、 直角三角形の面積 ＝ 長方形の面積 ÷ 2 ＝ 20 ÷ 2 ＝ 10（cm²） つまり、 直角三角形の面積 ＝ 底辺 × 高さ ÷ 2 ＝ 5 × 4 ÷ 2 ＝ 10（cm²） となります。 なぜ2でわるのかは、直角三角形が長方形の半分である と考えるとわかりやすくなります。 底辺と高さはどこを指すの？ 直角三角形の場合、直角をはさむ2つの辺が底辺、高さになります。 直角三角形では、底辺と高さが辺そのものなのでわかりやすいです。 【鋭角三角形】2つの直角三角形に分けよう 次は、3つの角がすべて90°より小さい鋭角三角形について考えてみましょう。 頂点から底辺に垂直な線をひく 頂点から、底辺に対して垂直（直角）な線をひきます。 この線の長さが高さです。 すると、もとの三角形が2つの直角三角形に分かれます。 具体例で考えてみましょう。 2つの直角三角形で考える たとえば、底辺が7cm、高さが5cmの鋭角三角形で考えてみましょう。 この三角形を2つの直角三角形に分けたところ、左側の直角三角形の底辺が4cm、右側の直角三角形の底辺が3cmになりました。 左の直角三角形の面積 ＝ 4 × 5 ÷ 2 ＝ 10（cm²） 右の直角三角形の面積 ＝ 3 × 5 ÷ 2 ＝ 7.5（cm²） したがって、 もとの鋭角三角形の面積 ＝ 10 ＋ 7.5 ＝ 17.5（cm²） ２つの直角三角形は高さが等しいので、公式としてまとめると、 鋭角三角形の面積 ＝（4＋3）× 5 ÷ 2 ← 底辺 × 高さ ÷ 2 ＝ 7 × 5 ÷ 2 ＝ 17.5（cm²） 2つの直角三角形に分けなくても、公式を使って一気に計算することができます。 具体的な三角形で考えましたが、底辺、高さがどんな数になっても、同じように計算することができます。 したがって、鋭角三角形でも、三角形の面積の公式が成り立つことがわかりました。 【別解】長方形に変形して考える方法もある 別の考え方として、2つの直角三角形をひっくり返してくっつけると長方形になります。 長方形の面積の半分が三角形の面積です。 【鈍角三角形】高さが三角形の外でも大丈夫 最後に、1つの角が90度より大きい鈍角三角形について考えてみましょう。 高さは三角形の「外」にとることもできる 鈍角三角形の鈍角以外の頂点から底辺の延長線上に垂直な線をひくと、底辺の外側で交わります。 この場合の「高さ」は、下の図のようになります。 「大きい三角形」から「小さい三角形」をひいて面積を求めよう 鈍角三角形の面積を求めるために、 外側まで含めた「大きい直角三角形」から余分な「小さい直角三角形」をひく方法 で考えてみましょう。 大きい三角形の面積 ＝ 底辺① × 高さ ÷ 2 小さい三角形の面積 ＝ 底辺② × 高さ ÷ 2 鈍角三角形の面積 ＝ 大きい三角形の面積 ー 小さい三角形の面積 ここで、どの三角形も高さは等しくなっています。 また、 鈍角三角形の底辺 ＝ 底辺① ー 底辺② となっているので、 鈍角三角形の面積 ＝（底辺① ー 底辺②）× 高さ ÷ 2 ＝ 底辺 × 高さ ÷ 2 つまり、三角形の面積の公式と同じになることがわかります。 【ミスに注意】底辺と高さの見つけ方 三角形の面積を求めるときに一番多い間違いは、「底辺」と「高さ」を正しく見つけられないことです。 「高さ」は底辺に対して垂直な長さ 高さは、底辺に対して直角（垂直）になります。 三角形の斜めになっている辺の長さを「高さ」とまちがえてしまうことがよくあるので注意しましょう。 どの辺を底辺にしても良い 三角形の面積を求めるとき、どの辺を底辺にしても答えは同じです。 底辺を変えれば、それに対応する高さも変わりますが、 底辺×高さ÷2 の計算結果は変わりません。 【練習問題】公式を使って三角形の面積を求めよう 問題 次の三角形の面積を求めましょう。 ① ② ③ Thinking… 答え ① 底辺6cm、高さ4cmの直角三角形です。 式 6 × 4 ÷ 2＝ 24 ÷ 2＝ 12 答え 12 cm² ② 底辺9cm、高さ8cmの鋭角三角形です。 式 9 × 8 ÷ 2 ＝ 72 ÷ 2 ＝ 36 答え 36 cm² ③ 底辺13cm、高さ6cmの鈍角三角形です。 ←25cmは使わないので注意 式 13 × 6 ÷ 2 ＝ 78 ÷ 2 ＝ 39 答え 39 cm² まとめ この記事では、三角形の面積の公式「底辺×高さ÷2」がなぜ成り立つのかを、3つのパターンに分けて解説しました。 どんな三角形でも「底辺×高さ÷2」の公式は使えます。 大切なのは、「高さ」が底辺に対して垂直であることを忘れないことです。 もっとくわしく学習したい方は、文理の教材で練習問題にチャレンジしてみてください。 ◆小学教科書ワーク 「算数」 教科書に完全対応しているから、学校の授業に合わせて使いやすい！ 計算練習ノート、ポスター、動画、CBTなど付属品も充実！ 全教科書に対応した「数と計算」「文章題・図形」シリーズも用意しています。 ▶シリーズページはこちら ▶ご購入はこちら ◆小学教科書ドリル 「算数」 1回10分で終わるドリルだから、習い事など忙しくても続けやすい！ 基本・確認の２ステップで、無理なく力がつきます！ 計算問題に特化した「計算」、文章題や図形問題に特化した「文章題」「数・量・図形」シリーズも用意しています。 ▶シリーズページはこちら ▶ご購入はこちら ◆できる!!ふえる↑ドリル １枚ずつはがして使えるから、学習しやすい！ 「計算」「文章題」「数・量・図形」「時こくと時間」など、分野別のシリーズが充実しています。 ▶シリーズページはこちら ▶ご購入はこちら ◆ハイレベル算数ドリル 3段階構成で取り組みやすい！ 詳しい回答解説で、学習をサポート！ ▶シリーズページはこちら ▶ご購入はこちら
【小学生向け】台形の面積の求め方を解説！公式の覚え方と練習問題
もくじ 台形ってどんな形？ 台形の面積の公式を覚えよう 公式の意味を図で理解しよう（なぜこの公式になるの？） 練習問題にチャレンジしよう まとめ：台形の面積をマスターして算数を得意にしよう 文理のおすすめの教材 台形ってどんな形？ 算数の授業で台形（だいけい）という言葉を聞いたことはありますか？ 台形は向かい合う1組の辺が平行な四角形のことです。 平行というのは、どこまで伸ばしても絶対に交わらない、まっすぐな2本の直線のことです。 実は私たちの身の回りにも、台形の形をしたものはたくさんあります。 身の回りの台形を探してみよう たとえば、次のようなものが台形の仲間です。 ◆ 体育の授業で跳ぶとび箱 ◆ 公園にあるすべり台を横から見た形 ◆ スーパーの買い物カゴの横の面 どれも、上の辺と下の辺が「平行」になっていますよね。 まずは「上と下が平行な形なんだな」とイメージしてみましょう。 台形の各部分の名前を覚えよう 台形には、それぞれの部分に大切な名前がついています。 面積を計算するときに必ず使うので、図を見ながらここで覚えてしまいましょう！ 上底（じょうてい）：平行な2つの辺のうち、短い方や上にかかれることが多い辺 下底（かてい）: 平行な2つの辺のうち、長い方や下にかかれることが多い辺 脚（きゃく）： 上底と下底をつなぐ、平行ではない2つの辺 高さ： 平行な2つの辺（上底と下底）の間に垂直にひいた線の長さ 「上にあるから上底、下にあるから下底」 と覚えるととてもシンプルですね！ ※問題によって、台形をひっくり返すこともあるので、例外的に下にある辺が上底、上にある辺が下底になる場合もあります。 高さは、斜めになっている脚の部分ではありません。 上底、もしくは下底に対して垂直になっているか確認するようにしましょう。 台形の面積の公式を覚えよう ここでは、テストや宿題でスムーズに使えるようになるための公式と、忘れにくくなる覚え方のコツを分かりやすく紹介します 。 台形の面積の公式はこれ！ 台形の面積は、次の公式を使って計算します 。 【公式】台形の面積 ＝ (上底 ＋ 下底) × 高さ ÷ 2 この長い公式を覚えるときは、言葉で 「じょうてい たす かてい かける たかさ わる に」 と、リズムに合わせて何度も声に出してみるのがおすすめです 。 上底の長さを a cm 、下底の長さを b cm 、高さを h cm として、台形の面積 S cm² 次のような文字を使った式で表されることもあります 。 S = ( a + b ) × h ÷ 2 どちらの式も計算する方法はまったく同じです。 公式を使うときは、まずかっこの中にある「上底＋下底」のたし算を計算し、その後に高さをかけて、 最後に2でわるという計算の順番を忘れないようにしましょう。 面積の単位について 台形の面積を求めるとき、単位のつけ忘れに注意しましょう 。 cm²（平方センチメートル）、m²（平方メートル）など、平方を表す小さな2（指数）を書くのを忘れないようにしましょう 。 公式の意味を図で理解しよう（なぜこの公式になるの？） 算数では、「なぜそうなるのか」という理由を理解することがとても大切です 。 理由がわかると、公式を忘れにくくなります 。 ここでは、台形の面積の公式がどのように導き出されるのか、2つの方法で説明します 。 方法①：2つの台形を合わせて平行四辺形にする 面積を求めたい台形と、同じ形・同じ大きさの台形を用意します 。 180度回転させて、もとの台形の横にくっつけてみましょう 。 2つの台形を合わせると、1つの大きな平行四辺形になります 。 この平行四辺形の底辺の長さは、もとの台形の 上底＋下底 になっています。 また、平行四辺形の高さは、もとの台形の高さと等しいです。 平行四辺形の面積は底辺×高さで求められるので、この大きな平行四辺形の面積を求める式は、 底辺 × 高さ ＝ ( 上底 ＋ 下底 ) × 高さ となります 。 求める台形の面積は、この平行四辺形の面積のちょうど半分になります 。 したがって、 台形の面積＝ ( 上底 ＋ 下底 ) × 高さ ÷ 2 となります 。 方法②：台形を2つの三角形に分ける 別の考え方として、1つの台形を切り分けて計算する方法もあります 。 台形に対角線を1本ひくと、2つの三角形に分けることができます 。 このように分けると、 台形の面積 ＝ 上の三角形の面積 ＋ 下の三角形の面積 になります 。 三角形の面積の公式は、底辺 × 高さ ÷ 2 だから、 上の三角形の面積 ＝ 上底 × 高さ ÷ 2 下の三角形の面積 ＝ 下底 × 高さ ÷ 2 となります。 式をよく見ると、× 高さ ÷ 2 の部分が共通しているので、 台形の面積＝（上底＋下底）×高さ÷2 どちらの方法を使っても同じ答えになることがわかります 。 別のブログ記事へジャンプ！ 三角形の面積の求め方について知りたい方はこちら ←タップ！ 練習問題にチャレンジしよう 台形の公式がわかっても、使いこなせなければ成績アップにはつながりません。 ここでは、問題をレベル別に掲載します。 問題を実際に解くことで、台形の公式を身につけましょう。 基礎、標準レベル 次の台形の面積を求めましょう。 ① ② ③ ④ Thinking… 上底、下底、高さを正しく読み取って、公式にあてはめましょう。 ① 難易度 ★☆☆ (4 + 8) × 5 ÷ 2 ← かっこの中を先に計算 = 12 × 5 ÷ 2 = 30 答え 30cm² ② 難易度 ★☆☆ (6 + 10) × 7 ÷ 2 ← かっこの中を先に計算 = 16 × 7 ÷ 2 = 56 答え 56cm² ③ 難易度 ★★☆ 横にたおれた台形の図です。上底、下底、高さを間違えないように注意しましょう。 脚の7cmは計算には使わないので注意しましょう。 (5 + 9) × 6 ÷ 2 ← かっこの中を先に計算 = 14 × 6 ÷ 2 = 42 答え 42cm² ④ 難易度 ★★☆ (7 + 3) × 5 ÷ 2 ← かっこの中を先に計算 = 10 × 5 ÷ 2 = 25 答え 25m² ←単位に注意しましょう 応用レベル 続いて、少し難しい問題にチャレンジしてみましょう。 ⑤ 面積が 30cm²、上底が 4cm、下底が 8cm の台形があります。 この台形の高さを求めましょう。 ⑥ 図のように、たて 6cm、横 10cm の長方形があります。 色のついた四角形の面積を求めましょう。 Thinking… ⑤ 難易度 ★★★ 求める高さを □cm として、公式にあてはめます。 (4 + 8) × □ ÷ 2 = 30 ← かっこの中を計算 12 × □ ÷ 2 = 30 □ = 30 ×2 ÷ 12 □ = 5 答え 5cm ← 単位に注意しましょう ⑥ 難易度 ★★★ 色のついた四角形は台形です。 長方形のたての長さが、そのまま台形の高さになります。 上底は、10 － 8 = 2 (cm) 下底は、10 － 4 = 6 (cm) です。 ( 2 + 6 ) × 6 ÷ 2 ← かっこの中を先に計算 = 8 × 6 ÷ 2 = 24 答え 24cm² まとめ：台形の面積をマスターして算数を得意にしよう 最後に、今回学習した台形の面積のポイントを振り返りましょう。 ◆ 【公式】 台形の面積 ＝ ( 上底 ＋ 下底 ) × 高さ ÷ 2 ◆ 脚（斜めの辺）の長さにだまされず、高さを正しく見つける 公式の形だけを見ると難しく感じるかもしれませんが、 「なぜこの公式になるのか」 という図の意味を理解していれば、もし忘れてしまっても自分で思い出すことができます。 図形の面積は、問題演習を重ねることで誰でも必ず得意になる分野です。 問題集やドリルを使って、いろいろな図形の問題にチャレンジしてみてくださいね。 文理のおすすめの教材 台形も含め、面積の計算をもっと練習したい、算数をさらに得意にしたいという人におすすめの文理の教材を紹介します。 ◆小学教科書ワーク 教科書の内容に沿って学べるので、日々の予習・復習やテスト対策に最適です。 ▶シリーズページはこちら ▶ご購入はこちら ◆小学教科書ドリル くり返し計算の練習をすることで、公式を使った計算が正確にできるようになります。 ▶シリーズページはこちら ▶ご購入はこちら ◆できる!!ふえる↑ドリル １枚ずつはがして使えるドリルです。 「計算」「文章題」「数・量・図形」「時こくと時間」など、図形問題以外のシリーズも充実しています。 ▶シリーズページはこちら ▶ご購入はこちら ◆ハイレベル算数ドリル 3段階構成で取り組みやすい構成になっています。詳しい解答解説で、学習をサポートします。 ▶シリーズページはこちら ▶ご購入はこちら